Quizás sea el número de oro el primer número irracional que conocieron los griegos. Cuando los pitagóricos descubrieron que existían números irracionales, es decir, que no podían escribirse como cociente de dos números enteros, quedaron consternados, ya que este hecho rompía muchas de sus teorías filosóficas. Por ello decidieron guardar este descubrimiento en secreto.

Teano de Crotona, matemática pitagórica, fue la primera en realizar estas divisiones, comprobando de este modo la existencia de los números irracionales. Como buena pitagórica, creía y defendía que todos los objetos materiales estaban compuestos por números naturales, por lo que la medida de cualquier cosa se podía expresar con una medida exacta. Sin embargo, también fue la primera que planteó la existencia del número áureo como esencia del universo.

Al número de oro, o número áureo, se le representa con la letra griega Φ (Phi) en honor a Fidias. Vamos a dividir un segmento cualquiera en dos partes a y b de tal forma que a/b sea el número áureo.

• Traza un segmento con puntos en los extremos A y B. Lo llamaremos AB.
• Por el punto B, se traza una perpendicular que mide lo mismo que AB.
• Sobre esta perpendicular, se sitúa el punto medio, que llamaremos D, y se une con A, formando el triángulo rectángulo ABD.
• Con el compás, pinchamos en D y lo abrimos hasta el punto B. Dibujamos un arco que corte la hipotenusa del triángulo. Este punto de corte lo llamaremos E.
• Con el compás, pinchamos ahora en A y lo abrimos hasta el punto E. Trazamos un nuevo arco que corte el segmento original AB. Este último punto encontrado lo llamaremos C.
• Hemos conseguido dividir el segmento AB en dos partes, AC y BC, la mayor AC y la menor BC, esas dos longitudes están en proporción áurea.
• Mide los segmentos AB y AC y calcula el cociente AB/AC. Igualmente, si dividimos la longitud de los segmentos AC y BC encontramos el mismo número.
• En ambos casos el resultado es el mismo, el número de oro: “El todo es a la parte como esta es a lo que queda”.

$$\frac{AB}{AC} = \frac{AC}{CB}\;,\qquad \Phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$$

Phi es el número de oro, también llamado la divina proporción.