Dividir un segment en proporció àuria
Personatges:
Tema: Construcció de figures geomètriques
Competències
Competència Matemàtica, en ciència, tecnologia i enginyeria
Competència personal, social i aprendre a aprendre
Competència en consciència i expressions culturals
Matèries i cursos per Sistema Educatiu
Espanya > Matemàtiques > 1r ESO > Sentit espacial
Espanya > Matemàtiques > 1r ESO > Sentit socioafectiu
Enunciat
Potser és el nombre d'or el primer nombre irracional que van conéixer els grecs. Quan els pitagòrics van descobrir que existien nombres irracionals, és a dir, que no podien escriure's com a quocient de dos nombres enters, van quedar consternats, ja que aquest fet trencava moltes de les seues teories filosòfiques. Per això van decidir guardar aquest descobriment en secret.
Teano de Crotona, matemàtica pitagòrica, va ser la primera a realitzar aquestes divisions, i va comprovar d'aquesta manera l'existència dels nombres irracionals. Com a bona pitagòrica, creia i defensava que tots els objectes materials estaven compostos per nombres naturals, per la qual cosa la mesura de qualsevol cosa es podia expressar amb una mesura exacta. No obstant això, també va ser la primera que va plantejar l'existència del nombre auri com a essència de l'univers.
Al nombre d'or, o nombre auri, se'l representa amb la lletra grega Φ (Phi) en honor a Fidias. Dividirem un segment qualsevol en dues parts a i b de tal forma que a/b siga el nombre auri.
- Traça un segment amb punts en els extrems A i B. L’anomenarem AB.
- Pel punt B, es traça una perpendicular que mesura el mateix que AB.
- Sobre aquesta perpendicular, se situa el punt mitjà, que anomenarem D, i s'uneix amb A, formant el triangle rectangle ABD.
- Amb el compàs, punxem en D i l'obrim fins al punt B. Dibuixem un arc que talle la hipotenusa del triangle. Aquest punt de tall l’anomenarem E.
- Amb el compàs, punxem ara en A i l'obrim fins al punt E. Tracem un nou arc que talle el segment original AB. Aquest últim punt trobat l’anomenarem C.
- Hem aconseguit dividir el segment AB en dues parts, AC i BC, la major AC i la menor BC, aquestes dues longituds estan en proporció àuria.
- Mesura els segments AB i AC i calcula el quocient AB/AC. Igualment, si dividim la longitud dels segments AC i BC trobem el mateix nombre.
- En tots dos casos el resultat és el mateix, el nombre d'or: “El tot és a la part com aquesta és al que queda”.
$$\frac{AB}{AC} = \frac{AC}{CB}\;,\qquad \Phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$$
Phi és el nombre d'or, també anomenat la “divina proporció”.
Observacions i context
- En aquesta activitat guiada, els alumnes necessiten material per a dibuixar perpendiculars i arcs de circumferència, així com un regle per a mesurar els segments trobats. És important tractar d'acompanyar-los perquè siguen capaços de seguir les instruccions.
- L'objectiu de l'activitat és posar en pràctica els coneixements apresos de perpendiculars, triangles i practicar amb regles i compàs. Utilitzem el nombre auri per a introduir Teano en la construcció i podem esmentar al final el que és un nombre irracional. És interessant indicar en acabar l'activitat que tots els alumnes han trobat un nombre molt semblant, diferents aproximacions del nombre d'or, independentment del segment inicial que han dibuixat.
- Crotona era en època de Teano una colònia de la Magna Grècia.
- Antecessora de Teano de Crotona va ser Enheduanna (s. XXV aC), considerada la primera dona registrada en la història de la ciència i la primera que signa els seus treballs, en escriptura cuneïforme.
- Contemporànies de Teano són altres dones de l'escola pitagòrica nascudes al voltant del 500 aC, com Damo de Crotona, Mia i Arignota de Samos, considerades per diversos autors filles de Pitàgores i Teano. Encara que hi ha escasses referències, altres dones que van pertànyer a aquest grup són Babelica d'Argos, Beo d'Argos, Quilonis, Equecratia de Fliunte, Ecelo i Ocelo de Lucania, Habrotelia de Tàrent, Cleecma, Cratesiclea, Lastenia d'Arcàdia, Pisirroda de Tàrent, Filtis, Teadusa, Timica i Tirsenis de Síbaris.
- Posteriors a Teano podem citar Aglaonice, o Aglaònica, (s. III aC, coneguda per la seua capacitat per a predir eclipsis) i Hipàtia (s. IV dC).
Descripció
Exercici de regla i compàs. L'objectiu de l'activitat és aconseguir dividir un segment en proporció àuria fent una construcció