Dividir un segmento en proporción áurea
Characters:
Theme: Construcción de figuras geométricas
Competencies
Mathematical competence in science, technology and engineering
Personal, social and learning to learn competence
Competence in cultural awareness and expressions
Subjects and year by Educational System
Spain > Mathematics > 1st ESO > Spatial sense
Spain > Mathematics > 1st ESO > Socio-affective sense
Enunciation
Quizás sea el número de oro el primer número irracional que conocieron los griegos. Cuando los pitagóricos descubrieron que existían números irracionales, es decir, que no podían escribirse como cociente de dos números enteros, quedaron consternados, ya que este hecho rompía muchas de sus teorías filosóficas. Por ello decidieron guardar este descubrimiento en secreto.
Teano de Crotona, matemática pitagórica, fue la primera en realizar estas divisiones, comprobando de este modo la existencia de los números irracionales. Como buena pitagórica, creía y defendía que todos los objetos materiales estaban compuestos por números naturales, por lo que la medida de cualquier cosa se podía expresar con una medida exacta. Sin embargo, también fue la primera que planteó la existencia del número áureo como esencia del universo.
Al número de oro, o número áureo, se le representa con la letra griega Φ (Phi) en honor a Fidias. Vamos a dividir un segmento cualquiera en dos partes a y b de tal forma que a/b sea el número áureo.
- Traza un segmento con puntos en los extremos A y B. Lo llamaremos AB.
- Por el punto B, se traza una perpendicular que mide lo mismo que AB.
- Sobre esta perpendicular, se sitúa el punto medio, que llamaremos D, y se une con A, formando el triángulo rectángulo ABD.
- Con el compás, pinchamos en D y lo abrimos hasta el punto B. Dibujamos un arco que corte la hipotenusa del triángulo. Este punto de corte lo llamaremos E.
- Con el compás, pinchamos ahora en A y lo abrimos hasta el punto E. Trazamos un nuevo arco que corte el segmento original AB. Este último punto encontrado lo llamaremos C.
- Hemos conseguido dividir el segmento AB en dos partes, AC y BC, la mayor AC y la menor BC, esas dos longitudes están en proporción áurea.
- Mide los segmentos AB y AC y calcula el cociente AB/AC. Igualmente, si dividimos la longitud de los segmentos AC y BC encontramos el mismo número.
- En ambos casos el resultado es el mismo, el número de oro: “El todo es a la parte como esta es a lo que queda”.
$$\frac{AB}{AC} = \frac{AC}{CB}\;,\qquad \Phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$$
Phi es el número de oro, también llamado la divina proporción.
Observations and context
- En esta actividad guiada, los alumnos necesitan material para dibujar perpendiculares y arcos de circunferencia, así como regla para medir los segmentos encontrados. Es importante tratar de acompañarlos para que sean capaces de seguir las instrucciones.
- El objetivo de la actividad es poner en práctica los conocimientos aprendidos de perpendiculares, triángulos y practicar con reglas y compás. Utilizamos el número áureo para introducir a Teano en la construcción y podemos mencionar al final lo que es un número irracional. Es interesante indicar al terminar la actividad que todos los alumnos han encontrado un número muy parecido, diferentes aproximaciones del número de oro, independientemente del segmento inicial que han dibujado.
- Crotona era en época de Teano una colonia de la Magna Grecia.
- Antecesora de Teano de Crotona fue Enheduanna (s. XXV a.C.), considerada la primera mujer registrada en la historia de la ciencia y la primera que firma sus trabajos, en escritura cuneiforme.
- Contemporáneas de Teano son otras mujeres de la escuela pitagórica nacidas alrededor del 500 a.C., como Damo, Myia y Arignote de Crotone, consideradas por diversos autores hijas de Pitágoras y Teano. Aunque hay escasas referencias, otras mujeres que pertenecieron a este grupo son Babelica de Argos, Beo de Argos, Quilonis, Equecratia de Fliunte, Ecelo y Ocelo de Lucania, Habrotelia de Tarento, Cleecma, Cratesiclea, Lastenia de Arcadia, Pisirroda de Tarento, Filtis, Teadusa, Timica y Tirsenis de Síbaris.
- Posteriores a Teano podemos citar a Aglaónice, o Aglaónica, (s. III a.C., conocida por su capacidad para predecir eclipses) e Hipatia (s. IV d.C.).
Description
Ejercicio de regla y compás. El objetivo de la actividad es conseguir dividir un segmento en proporción áurea haciendo una construcción con regla y compás guiada paso a paso.