Proporciones en la realidad
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Tema: Ecuaciones, Proporción
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Enunciado
Quizás sea el número de oro el primer número irracional que conocieron los griegos. Cuando los pitagóricos descubrieron que existían números irracionales, es decir, que no podían escribirse como cociente de dos números enteros, quedaron consternados, ya que este hecho rompía muchas de sus teorías filosóficas. Por ello decidieron guardar este descubrimiento en secreto.
Teano de Crotona, matemática pitagórica, fue la primera en realizar estas divisiones, comprobando de este modo la existencia de los números irracionales. Como buena pitagórica, creía y defendía que todos los objetos materiales estaban compuestos por números naturales, por lo que la medida de cualquier cosa se podía expresar con una medida exacta. Sin embargo, también fue la primera que planteó la existencia del número áureo como esencia del universo.
Al número de oro, o número áureo, se le representa con la letra griega Φ (Phi) en honor a Fidias. Recordemos que Phi es una proporción donde “El todo es a la parte mayor, como esa parte es a lo que queda”. En la imagen siguiente puedes observar un ejemplo:
$$\frac{a+b}{a} = \frac{a}{b}$$
1. Vamos a encontrar ahora el número de oro. Suponemos que el segmento más pequeño mide 1 cm, y que no conocemos el valor del mayor, es decir, a = x y b = 1. Entonces, el segmento completo mide x+1, y podemos establecer la relación anterior como:
$$\frac{x+1}{x} = \frac{x}{1}$$
Si multiplicamos en cruz obtenemos la siguiente ecuación de segundo grado:
$$x^2 = x + 1$$
O lo que es igual a:
$$x^2 - x - 1 = 0$$
Resuelve la ecuación para obtener x, que será el número de oro, también llamado la “divina proporción”.
2. Con tu regla obtén las medidas de una tarjeta de crédito, de un DNI (Largo 8,6 cm ancho 5,4 cm) y comprueba que están en la misma proporción que el número áureo.
3. En la antigüedad, la belleza se relacionaba con esta proporción y en la actualidad se sigue usando al considerar que hace los objetos más atractivos. Teniendo en cuenta que todos los cuerpos son válidos en sus diferentes formas y medidas, comprueba si tu altura está en esta proporción con la distancia del suelo a tu ombligo.
Observaciones y contexto
- La primera parte de la actividad puede resultar más abstracta para el alumnado de 2º de ESO. Se recomienda representar el dibujo en la pizarra, explicar la proporción e ir cambiando los valores a y b por los que después formarán nuestra ecuación a = x, b = 1.
- Crotona era en época de Teano una colonia de la Magna Grecia.
- Antecesora de Teano de Crotona fue Enheduanna (s. XXV a.C.), considerada la primera mujer registrada en la historia de la ciencia y la primera que firma sus trabajos, en escritura cuneiforme.
- Contemporáneas de Teano son otras mujeres de la escuela pitagórica nacidas alrededor del 500 a.C., como Damo, Myia y Arignote de Crotone, consideradas por diversos autores hijas de Pitágoras y Teano. Aunque hay escasas referencias, otras mujeres que pertenecieron a este grupo son Babelica de Argos, Beo de Argos, Quilonis, Equecratia de Fliunte, Ecelo y Ocelo de Lucania, Habrotelia de Tarento, Cleecma, Cratesiclea, Lastenia de Arcadia, Pisirroda de Tarento, Filtis, Teadusa, Timica y Tirsenis de Síbaris.
- Posteriores a Teano podemos citar a Aglaónice, o Aglaónica, (s. III a.C., conocida por su capacidad para predecir eclipses) e Hipatia (s. IV d.C.).
Descripción
Actividad de ecuaciones de segundo grado utilizando la proporción. El objetivo de esta actividad es encontrar el número de oro en un segmento a partir de la resolución de una ecuación de segundo grado. Además, estudiaremos si existe esta proporción en diferentes objetos comunes y en las medidas de nuestro propio cuerpo.